Română

Deutsch

English

Fizică – Nivelul 3 / Anexă

Vectori

O serie de mărimi fizice (deplasarea, viteza, forța,...) au caracter vectorial: pentru a fi determinate complet este necesară precizarea următoarelor elemente:

· punctul de aplicație sau originea vectorului;

· direcția;

· sensul;

· mărimea sau modulul vectorului.

Uneori primul element nu are relevanță. Celelalte 3 elemente sunt însă întotdeauna obligatorii.

Compunerea vectorilor

Compunerea vectorilor, numită și suprapunerea vectorilor sau suma vectorială este o operație matematică în care intervin cel puțin doi vectori, care duce la determinarea unui vector rezultant, care în anumite privințe este echivalent cu setul de vectori care se compun (operanzii).

Compunerea a două forțe:

Se consideră două forțe și cu punct de aplicație comun. Rezultanta lor este o forță echivalentă, care ar produce același efect ca și cele două forțe care acționează simultan. Vectorul rezultant poate fi determinat printr-o metodă grafică sau printr-o metodă analitică.

Regula paralelogramului

Se construiește un paralelogram având drept laturi vectorii și și niște drepte paralele cu aceștia. Rezultanta lor este dată de diagonala care trece prin punctul de aplicație comun. Mai jos sunt prezentate 3 cazuri, în care unghiul dintre cei doi vectori este ascuțit, drept sau obtuz:

Metoda analitică

1. Se calculează mărimea (modulul) vectorului aplicând teorema generalizată a lui Pitagora:

2. Se determină orientarea vectorului , dată de unghiul său față de direcția orizontală, luată ca direcție de referință:

Cazuri particulare:

1. Dacă unghiul dintre vectori este drept ():

și

2. Dacă cei doi vectori au aceeași direcție și același sens ():

și

3. Dacă cei doi vectori au aceeași direcție, dar sensuri opuse ():

și

Compunerea a doi vectori de deplasare:

Se consideră o deplasare de la A la B urmată de o a doua deplasare de la B la C. Notăm cu vectorul de deplasare de la A la B și cu vectorul deplasării de la B la C. Vectorul rezultant semnifică deplasarea directă de la A la C și se poate determina grafic, prin regula triunghiului:

Metoda analitică pentru determinarea mărimii și orientării vectorului folosește aceleași formule de la cazul precedent al compunerii forțelor:

1. Se calculează modulul vectorului :

2. Se determină orientarea vectorului , dată de unghiul său față de direcția orizontală:

Pentru simplitate s-a notat R în loc de și , în loc de și .

Cazuri particulare:

1. Dacă unghiul dintre vectori este drept ():

și

2. Dacă cei doi vectori au aceeași direcție și același sens ():

și

3. Dacă cei doi vectori au aceeași direcție, dar sensuri opuse ():

și

Diferența a doi vectori:

Se consideră două poziții A și B indicate prin vectorii de poziție și , care au originea comună O. Dacă are loc o deplasarea de la A la B, aceasta se exprimă prin vectorul de deplasare , care este o diferență vectorială a doi vectori de poziție. Deplasarea inversă, de la B la A s-ar putea exprima prin vectorul de deplasare opus .

Tot cu ajutorul teoremei generalizate a lui Pitagora se determină analitic vectorul diferență (deplasarea) :

1. Se calculează modulul deplasării :

2. Se determină orientarea vectorului , exprimată prin unghiul său față de direcția orizontală:

Cazuri particulare:

1. Dacă unghiul dintre vectori este drept ():

și

2. Dacă cei doi vectori au aceeași direcție și același sens ():

și

3. Dacă cei doi vectori au aceeași direcție, dar sensuri opuse ():

și

Observații

1. Diferența a doi vectori se poate trata ca pe o sumă vectorială a vectorilor și , fiind opusul vectorului :

2. Compunerea a două forțe se poate trata și cu regula triunghiului, dacă translatăm vectorul astfel încât să-i mutăm originea în vârful vectorului . Chiar dacă punctul de aplicație al unei forțe are importanța lui și în multe cazuri prin schimbarea lui se schimbă și efectul forței, aplicarea metodei paralelogramului sau a triunghiului conduc la același rezultat:

Descompunerea unui vector

Orice vector poate fi considerat ca fiind rezultatul compunerii a cel puțin doi alți vectori, pe care îi numim componente ale vectorului respectiv. Descompunerea se poate realiza în multe moduri, dar pentru două direcții date avem o descompunere unică în două componente. Considerăm direcțiile Ox și Oy ale unui sistem de coordonate în plan și descompunem un vector după aceste două direcții ortogonale: .

și se numesc componentele vectorului după direcțiile Ox și Oy ale sistemului de coordonate respectiv. Un rol important în descompunerea unui vector îl au versorii sau vectorii unitate, notați cu și . Ei sunt orientați după axele Ox și Oy și au mărimea de o unitate: . Cu ajutorul lor putem exprima orice vector, în raport cu sistemul de coordonate respectiv:

.

și sunt componentele scalare ale vectorului și au valori pozitive sau negative, după cum componentele vectoriale și sunt îndreptate în sensul pozitiv sau negativ al axelor Ox și Oy.

Compunerea mai multor vectori

Compunerea mai multor deplasări:

Considerăm 4 puncte P₁, P₂, P₃, P₄ și 3 deplasări succesive:

1. deplasarea de la P₁ la P₂, reprezentată de vectorul de deplasare ;

2. deplasarea de la P₂ la P₃, reprezentată de vectorul de deplasare ;

3. deplasarea de la P₃ la P₄, reprezentată de vectorul de deplasare .

Sunt indicate și orientările acestor vectori față de o direcție de referință (direcția orizontală), prin unghiurile .

Deplasarea rezultantă este un vector cu originea în punctul de plecare P₁ și vârful în punctul de sosire P₄. Acest vector reprezintă deplasarea directă de la poziția inițială la poziția finală. Indiferent care a fost drumul parcurs, rezultatul final este că s-a schimbat poziția de la P₁ la P₄.

Deplasarea rezultantă este suma vectorială a deplasărilor succesive:

.

Acest vector poate fi determinat printr-o metodă grafică, numită regula poligonului:

Compunerea mai multor forțe:

Dacă se compun 3 forțe, putem aplica regula paralelogramului succesiv, de două ori, dar există 3 posibilități de aplicare:

1. Mai întâi se compun vectorii și , se obține rezultatul parțial , apoi se adună vectorial și se obține rezultatul final .

2. Se compun vectorii și , se obține rezultatul parțial , la care se adună vectorial și se obține rezultatul final .

3. Se asociază vectorii și , care dau rezultatul parțial , la care se adaugă vectorul și se obține rezultatul final .

În toate cazurile se obține același rezultat final: un vector la fel de mare și cu aceeași orientare. Operația de adunare vectorială are următoarele proprietăți esențiale:

· este comutativă: – nu contează ordinea adunării vectorilor;

· este asociativă: – nu contează cum asociem operanzii în vederea efectuării calculelor pe etape.

De asemenea, se poate aplica regula poligonului și în cazul forțelor:

Metoda analitică de compunere a vectorilor:

Mai întâi se descompun toți vectorii în raport cu același sistem de coordonate:

Analitic, aceste descompuneri se exprimă astfel:

A compune 3 vectori de direcții oarecare devine echivalent cu a compune 6 vectori: 3 orizontali și 3 verticali: .

Evident, că cel mai convenabil este să se asocieze vectorii orizontali pe de-o parte și vectorii verticali pe de altă parte: .

Avem rezultatele parțiale:

Se compun rezultatele parțiale:

Se determină eventual mărimea și orientarea vectorului rezultant:

Extindere: vectori în spațiu

În raport cu un sistem de coordonate 3D, în care se definesc 3 versori , un vector oarecare are 3 componente:

Produsul scalar a doi vectori

Produsul vectorial a doi vectori