Română

Deutsch

English

Fizică – Nivelul 3 / Anexă

Geometrie și Trigonometrie

Triunghiul dreptunghic

Se consideră un triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza AB și catetele BC, AC, desenat în 3 poziții diferite:

Sunt valabile următoarele relații:

Din aceste relații se deduc imediat alte relații:

Înălțimea CD împarte triunghiul ABC în două triunghiuri asemănătoare: ACD și BCD:

Aceste triunghiuri sunt asemenea și cu triunghiul original ABC. Rotim triunghiul ABC la 180° în jurul axei CD și alăturăm triunghiurile ACD și BCD în poziții potrivite pentru a se vedea ușor laturile corespondente:

Pe baza asemănării triunghiurilor sunt valabile următoarele relații:

Teorema lui Pitagora

Din relațiile precedente rezultă:

Astfel, în triunghiul dreptunghic este valabilă relația:

Numere pitagoreice:

Acestea sunt triplete de numere naturale care satisfac relația de mai sus și sunt proporționale cu lungimile laturilor unor triunghiuri dreptunghice:

Triunghiul oarecare

Se consideră un triunghi oarecare ABC:

Cele 3 înălțimi ale acestuia îl împart în câte două triunghiuri dreptunghice:

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice ACD și BCD:

Ținând cont că:

Rezultă:

Teorema lui Pitagora generalizată (teorema cosinusului)

S-a obținut mai sus:

În mod similar, operând cu celelalte triunghiuri rezultate prin trasarea înălțimilor AE și BF, se obține:

Scriem rezultatele obținute sub forma:

Aceasta este teorema lui Pitagora generalizată, dar este cunoscută și sub numele de teorema cosinusului, fiindcă, date fiind lungimile laturilor unui triunghi (a, b, c), pot fi determinate toate unghiurile (α, β, γ):

Teorema sinusurilor

În triunghiurile ACD și BCD sunt valabile următoarele relații:

În triunghiurile ABE și ACE avem:

În triunghiurile ABF și BCF avem:

Aceste relații pot fi aduse la forma:

Observații

· Cunoscând două laturi și un unghiul dintre ele pot fi determinate celelalte 3 elemente ale oricărui triunghi, folosind teorema cosinusului.

· Cunoscând două laturi și alt unghi decât cel dintre ele sau două unghiuri și o latură oarecare pot fi determinate celelalte 3 elemente ale oricărui triunghi, folosind teorema sinusurilor.