probleme1

Probleme rezolvate

Un corp cu masa m1=1kg este pe o masă. Coeficientul de frecare statică dintre acest corp și masă este μs=0.25, iar coeficientul de frecare cinetică este μ=0.2. Asupra corpului se aplică o forță $\vec{F}$ , orizontală.

a) Să se determine forța de frecare și accelerația în funcție de diferite valori ale forței $\vec{F}$ aplicate:

F (N)	0	1	2	2.5	3	4	5
Ff (N)
a (m/s2)

b) Să se reprezinte grafic forța de frecare și accelerația în funcție de forța F.

Rezolvare:

a) Se aplică legea a 2-a a frecării: $F_{f} = μ_{s} \cdot N$ sau $F_{f} = μ \cdot N$ , dar cu atenție:

Forța de apăsare $\vec{N}$ are aceeași mărime cu greutatea $\vec{G} = m \cdot \vec{g}$ , deci N=10N și prin simpla aplicare a legii a 2-a a frecării, ar trebui să obținem valori fixe Ff=2.5N sau Ff=2N. Trebuie să se țină cont de următoarele cazuri:

1) Nu se aplică nici o forță F. Corpul este în repaus și nici nu există vreo tendință de mișcare. În acest caz nu apare nici o forță de frecare.

2) Se aplică o forță F mai mică de 2.5N, dar apare automat o forță de frecare statică Ff, la fel de mare ca F, care se opune tendinței de mișcare și menține corpul în repaus.

3) Se aplică o forță F de 2.5N care egalează forța de frecare statică Ff, care acum ia valoarea sa maximă de 2.5N.

4) Se aplică o forță F mai mare de 2.5N, dar deja corpul e în mișcare și se opune o forță de frecare cinetică (de alunecare), plafonată la valoarea de 2N. Mișcarea e accelerată.

Acum putem completa tabelul de mai sus, în care mai introducem o rubrică a forței rezultante R, cu ajutorul căreia calculăm accelerația: $a = \frac{R}{m}$ :

F (N)	1	2	2.5	3	4	5
Ff (N)	1	2	2.5	2	2	2
R(N)	0	0	0	1	2	3
a (m/s2)	0	0	0	1	2	3

b) reprezentarea grafică:

Se observă scăderea bruscă (discontinuitatea) forței de frecare la depășirea limitei de 2.5 N a forței aplicate.

Accelerația devine nenulă doar după ce forța aplicată depășește frecarea statică maximă de 2.5 N.

Un corp cu masa m1=1kg este pe o masă și coeficientul de frecare dintre acest corp și masă este μ=0,2. Un al doilea corp cu masa m2=0,3kg este legat de primul corp printr-un fir trecut peste un scripete ideal, fixat la marginea mesei. Sistemul este lăsat liber. Să se determine accelerația cu care se deplasează corpurile și tensiunea din fir.

Rezolvare:

Se descompune problema sistemului de corpuri în probleme simple pentru câte un singur corp, ținând cont de toate forțele care acționează asupra fiecăruia dintre corpuri:

Pentru fiecare corp se aplică principiul al II-lea al dinamicii în caz de echilibru:

corpul 1

$\vec{G_{1}} + \vec{N} + \vec{F_{f}} + \vec{T} = m_{1} \cdot \vec{a}$

Descompunem forțele după cele 2 axe:

Ox: $T - F_{f} = m_{1} \cdot a$

Oy: $N - G_{1} = 0$

Ținând cont de relația: $F_{f} = μ \cdot N$ rezultă:

$T - μ \cdot m_{1} \cdot g = m_{1} \cdot a$

corpul 2

$\vec{G_{2}} + \vec{T} = m_{2} \cdot \vec{a}$

Aceste forțe au proiecții doar după axa Oy:

$T - G_{2} = - m_{2} \cdot a$

Se formează următorul sistem de ecuații liniare:

$T - μ \cdot m_{1} \cdot g = m_{1} \cdot a$

$T - m_{2} \cdot g = - m_{2} \cdot a$

care se poate rezolva prin metoda reducerii necunoscutelor:

$m_{2} \cdot g - μ \cdot m_{1} \cdot g = (m_{1} + m_{2}) \cdot a \Rightarrow a = g \cdot \frac{m_{2} - μ \cdot m_{1}}{m_{1} + m_{2}} = 0.77 m / s^{2}$

$T = m_{2} \cdot g - m_{2} \cdot a = m_{2} \cdot (g - a) = 2.77 N$

Simulare

Un sistem mecanic este format dintr-un plan înclinat de unghi α=30̊ și două corpuri de mase m1=1kg și m2, legate între ele printr-un fir inextensibil, trecut peste un scripete ideal. Coeficientul de frecare dintre corpul 1 și planul înclinat este μ =0.2. În ce domeniu trebuie să se încadreze masa celui de-al doilea corp ca să nu alunece primul corp?

Rezolvare:

Masa m2 trebuie să se încadreze într-un domeniu: $m_{2} \in [m_{2 \min}, m_{2 \max}]$ . Sistemul se va afla în echilibru, dar când m2 ia valorile extreme sistemul va fi la limita echilibrului.

Tratăm separat cele două cazuri de echilibru la limită:

cazul 1. m2=m2min:

Corpurile sunt în repaus, dar corpul 1 are tendința de a aluneca în jos, iar forța de frecare, care se opune, va fi orientată în sus. Dacă m2<m2min corpurile se vor deplasa accelerat în sensul indicat.

Pentru fiecare corp se aplică principiul al II-lea al dinamicii în caz de echilibru:

corpul 1

$\vec{G_{1}} + \vec{N} + \vec{F_{f}} + \vec{T} = 0$

Descompunem forțele după cele 2 axe:

Ox: $G_{1 t} - T - F_{f} = 0$

Oy: $N - G_{1 n} = 0$

Ținând cont de următoarele relații:

$G_{1 t} = G_{1} \cdot \sin α = m_{1} \cdot g \cdot \sin α$

$G_{1 n} = G_{1} \cdot \cos α = m_{1} \cdot g \cdot \cos α$

$F_{f} = μ \cdot N$

rezultă:

$m_{1} \cdot g \cdot \sin α - T - μ \cdot m_{1} \cdot g \cdot \cos α = 0 \Rightarrow T = m_{1} \cdot g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

corpul 2

${\vec{G}}_{2 \min} + \vec{T} = 0$

Aceste forțe au proiecții doar după axa Oy:

$T - G_{2 \min} = 0 \Rightarrow G_{2 \min} = T = m_{1} \cdot g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α) \Rightarrow m_{2 \min} = m_{1} \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

cazul 2. m2=m2max:

Corpurile sunt în repaus, dar corpul 1 are tendința de a aluneca în sus, iar forța de frecare, care se opune, va fi orientată în jos. Dacă m2>m2max corpurile se vor deplasa accelerat în sensul indicat.

Pentru fiecare corp se aplică principiul al II-lea al dinamicii în caz de echilibru:

corpul 1

$\vec{G_{1}} + \vec{N} + \vec{F_{f}} + \vec{T} = 0$

Descompunem forțele după cele 2 axe:

Ox: $G_{1 t} - T + F_{f} = 0$

Oy: $N - G_{1 n} = 0$

rezultă:

$m_{1} \cdot g \cdot \sin α - T + μ \cdot m_{1} \cdot g \cdot \cos α = 0 \Rightarrow T = m_{1} \cdot g \cdot (\sin α + μ \cdot \cos α)$

corpul 2

${\vec{G}}_{2 \max} + \vec{T} = 0$

Aceste forțe au proiecții doar după axa Oy:

$T - G_{2 \max} = 0 \Rightarrow G_{2 \min} = T = m_{1} \cdot g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α) \Rightarrow m_{2 \max} = m_{1} \cdot (\sin α + μ \cdot \cos α)$

Așadar obiectul 2 trebuie să aibă masa cuprinsă în intervalul:

$m_{2} \in [m_{1} \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α), m_{1} \cdot (\sin α + μ \cdot \cos α)] = [0.33 kg, 0.67 kg]$