Română

Deutsch

English

Mecanică / Dinamică

Aruncarea pe verticală în câmp gravitațional uniform

În figura de alături este simulată mișcarea unui corp după direcție verticală, care este lansat de jos în sus cu o viteză inițială . Se neglijează rezistența din partea aerului. Considerăm așadar că proiectilul este doar sub acțiunea propriei sale greutăți, și această forță îi determină o accelerație , orientată în jos. Această mișcare este deci o mișcare rectilinie uniform variată, cu accelerația constantă și decurge în două faze: -mișcare încetinită (frânată) la urcare; -mișcare accelerată la coborâre. În prima fază câmpul gravitațional frânează această mișcare: în fiecare secundă viteza scade cu câte 9.81m/s până când devine 0. În acel moment corpul a atins o înălțime maximă y=490.5m. În continuare viteza crește, dar în sens opus, ia valori negative și corpul revine la sol, precum la căderea liberă. Instrumentele virtuale pentru măsurarea timpului și a distanței ne arată că urcarea durează 10s și alte 10s durează coborârea, până când corpul ajunge înapoi la nivelul solului.

Reprezentarea grafică a mișcării

Folosind valorile indicate de instrumentele de măsură, alcătuim un tabel de valori cu pozițiile corpului la diferite momente de timp:

a) faza de urcare:

index	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
t[s]	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y[m]	0	93.2	176.6	250.2	313.9	367.9	412	446.4	470.9	485.6	490.5

b) faza de coborâre:

index	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
t[s]	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
y[m]	490.5	485.6	470.9	446.4	412	367.9	313.9	250.2	176.6	93.2	0

Cu aceste date se reprezintă grafic accelerația, viteza și înălțimea față de sol:

Descrierea analitică a mișcării

Putem descrie aruncarea pe verticală folosind ecuațiile mișcării rectilinii uniform variate, din cinematică. Considerăm următorul set de parametri:

-momentului inițial îi atribuim valoarea 0: ;

-coordonata inițială este 0, aruncarea având loc de la nivelul solului: ;

-viteza inițială trebuie să fie pozitivă: ;

-accelerația are o valoare constantă, negativă în sistemul de coordonate ales: .

	forma generală a ecuațiilor mișcării	forma particulară pentru aplicația dată
Legea accelerației:			(1)
Legea vitezei:			(2)
Legea de mișcare:			(3)
Ecuația lui Galilei:			(4)

Cu ajutorul acestui model matematic putem răspunde la următoarele întrebări:

1. Cât timp durează urcarea până la înălțimea maximă?

2. Cât timp durează întreaga mișcare, de la lansare până la revenirea la sol?

3. Până la ce înălțime maximă urcă proiectilul?

1. Folosim ecuația (2) cu condiția (obiectul se oprește când atinge înălțimea maximă) și rezultă:

2. Folosim ecuația (3) cu condiția (obiectul se află la sol) și rezultă:

.

Ecuația are două soluții:
-o soluție banală t=0, adică momentul când proiectilul este lansat, dar se află încă la sol;
-momentul , când proiectilul, după lansare, a revenit la sol.
Comparând cu rezultatul precedent, rezultă că timpul de urcare este egal cu timpul de coborâre, ceea ce nu este deloc surprinzător.

3. Folosim ecuația (3) în care introducem timpul de urcare deja determinat:

O altă cale de rezolva problema este să folosim ecuația (4), cu :

.

Exemple numerice:

Valori numerice ale timpului de urcare și a înălțimii maxime atinse pentru diferite viteze de lansare:

[m/s]	1	2	4	10	20	100	200	500	1000
	0.102 s	0.204 s	0.408 s	1.02 s	2.04 s	10.2 s	20.4 s	51.0 s	102 s
	5.10 cm	20.4 cm	0.816 m	5.10 m	20.4 m	510 m	2039 m	12.7 km	50.1 km

La dublarea vitezei de lansare, înălțimea maximă atinsă de proiectil crește de 4 ori.

Ultima valoare a vitezei, cea de 1000 m/s, este viteza gloanțelor celor mai performante arme de foc. Desigur, rezistența aerodinamică este foarte mare la această viteză și valoarea de peste 50 km a înălțimii maxime atinse este nerealistă. Aerul va frâna cel mai puternic mișcarea la început, când viteza este mai mare.