Română

Deutsch

English

Mecanică / Dinamică

Căderea liberă în câmp gravitațional uniform

Obiectele cad spre Pământ sub acțiunea gravitației. Considerăm un corp aflat la o înălțime h deasupra solului, care dacă este lăsat liber, cade. Vorbim de cădere liberă atunci când singura forță care acționează asupra corpului este greutatea sa, adică forța cu care corpul este atras de planeta Pământ:

(1)

Aici este o mărime fizică care semnifică tăria câmpului gravitațional, care în apropierea solului planetei noastre are valoarea g=9.81 N/kg. Presupunem că pe tot parcursul căderii , de aceea vorbim de câmp gravitațional uniform.

Potrivit legii fundamentale a dinamicii, această forță provoacă obiectului o accelerație:

(2)

Acum mărimea fizică capătă o a doua semnificație: este accelerația cu care cad liber corpurile sub acțiunea gravitației și are valoarea de 9.81m/s². Unitățile de măsură N/kg și m/s² sunt echivalente.

În condițiile căderii libere, toate corpurile, indiferent de caracteristicile lor, cad la fel, cu aceeași accelerație, numită accelerație gravitațională și notată cu g. Dacă în realitate observăm că nu toate obiectele cad la fel de repede, motivul este acela că în diverse cazuri căderea nu este liberă, ci influențată și de alte forțe în afară de greutate, mai ales de rezistența aerodinamică. În unele cazuri rezistența aerodinamică se poate neglija în raport cu greutatea.

În figura de alături este simulată căderea liberă a unui corp. Am ales o axă verticală Oy orientată în sus, divizată uniform pe o lungime de 500 unități, care sunt chiar metri. Am făcut o reprezentare la scară a acestei distanțe de 500m. Originea axei este la nivelul solului (y=0). Respectivul corp este lăsat să cadă liber de la o înălțime y=490.5m.Avem instrumente virtuale pentru măsurarea timpului și a distanței, care ne arată că durează 10s până când corpul ajunge la nivelul solului.

Această cădere este o mișcare rectilinie uniform variată, cu accelerația . Vectorul accelerației este orientat în jos, în sensul creșterii vitezei, iar proiecția sa pe axa Oy este negativă. În această simulare corpul respectiv este programat să-și marcheze poziția la fiecare 0.5s și marcajele se îndepărtează din ce în ce mai mult unele de altele. Inițial viteza este 0, dar modulul ei crește în timp, în mod uniform. În fiecare secundă viteza se mărește în modul cu încă 9.81m/s.

Reprezentarea grafică a căderii libere

Folosind valorile indicate de instrumentele de măsură, alcătuim un tabel de valori cu pozițiile corpului la diferite momente de timp:

index	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
t[s]	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y[m]	490.5	485.6	470.9	446.4	412	367.9	313.9	250.2	176.6	93.2	0

Cu aceste date se reprezintă grafic accelerația, viteza și înălțimea față de sol:

Descrierea analitică a căderii libere

Putem descrie căderea liberă folosind ecuațiile mișcării rectilinii uniform variate, din cinematică. Considerăm următorul set de parametri:

-momentului inițial îi atribuim valoarea 0: ;

-coordonata inițială este înălțimea h față de nivelul solului, de unde începe căderea: ;

-viteza inițială este zero (căderea începe din repaus): ;

-accelerația are o valoare constantă, negativă în sistemul de coordonate ales: .

	forma generală a ecuațiilor mișcării	forma particulară pentru aplicația dată
Legea accelerației:			(1)
Legea vitezei:			(2)
Legea de mișcare:			(3)
Ecuația lui Galilei:			(4)

Cu ajutorul acestui model matematic putem răspunde la următoarele întrebări:

1. Cât durează căderea?

2. Ce viteză atinge corpul exact în momentul în care ajunge la sol?

1. Folosim ecuația (3) cu condiția (obiectul ajunge la sol) și rezultă:

Timpul de cădere este: .

2. Putem folosi ecuația (2) în care introducem :

.

Rezultatul este negativ, fiindcă viteza este orientată în jos, în sensul negativ al axei Oy.
O altă cale de rezolva problema este să folosim ecuația (4), cu :

,
care are însă două soluții: .

Știm că soluția trebuie să fie negativă. Are sens soluția pozitivă? Da, ar putea fi valabilă, dar pentru un moment t negativ, , anterior începerii căderii, dacă atunci ar începe o aruncare de jos în sus, urmată apoi de cădere.

Exemple numerice:

Valori numerice ale timpului de cădere și a vitezei maxime atinse pentru căderea liberă de la diferite înălțimi:

h	1m	2m	4m	10m	100m	200m	500m	1000m	10000m
	0.452 s	0.639 s	0.903 s	1.43 s	4.52 s	6.39 s	10.1 s	14.3 s	45.2 s
	4.43 m/s	6.26 m/s	8.86 m/s	14.0 m/s	44.3 m/s	62.6 m/s	99.0 m/s	140 m/s	443 m/s

Regula generală este că timpul de cădere și viteza maximă se dublează dacă înălțimea crește de 4 ori. Ele se măresc de 10 ori dacă înălțimea crește de 100 ori, ...

Trebuie menționat că, pe măsură ce înălțimea de cădere este mai mare, valorile calculate mai sus sunt tot mai nerealiste. Acest model teoretic are niște limite și precizia lui e bună doar în cazul corpurilor suficient de grele și aerodinamice, care cad de la înălțimi relativ mici.